113 年 國立臺北大學自然資源與環境管理研究所《統計學》

此題為名詞解釋題，主要在考驗考生對統計學基本概念的理解。

Law of Large Numbers (大數法則)

大數法則描述了當試驗次數足夠多時，事件發生的頻率會趨近於其理論機率。更精確地說，假設有一個獨立重複的隨機試驗，每次試驗的結果是一個隨機變數 $X_i$，且這些隨機變數具有相同的期望值 $\mu$（即 $E(X_i) = \mu$）。

此題為名詞解釋題，考驗考生對中央極限定理的理解。

Central Limit Theorem (中央極限定理)

中央極限定理是統計學中最重要的定理之一。它指出，不論原始母體的分佈為何，只要我們從母體中抽取足夠大的隨機樣本（通常樣本數 $n \ge 30$ 被認為足夠大），則這些樣本平均數的抽樣分配（sampling distribution of the sample mean）將會近似於一個常態分佈（Normal distribution）。

此題為名詞解釋題，考驗考生對統計學中「自由度」的理解。

Degree of Freedom (自由度)

在統計學中，自由度（degrees of freedom, df）通常指的是在進行參數估計或檢定時，可以自由變動的觀測值數量。它與樣本數、所估計參數的個數以及所施加的限制條件有關。

舉例來說：

1. 樣本平均數的計算：當我們計算一個樣本的平均數 $\bar{x}$ 時，我們有 $n$ 個觀測值。

此題為名詞解釋題，考驗考生對假設檢定中 P 值的理解。

P value of the hypothesis test (假設檢定的 P 值)

P 值（Probability value）是在假設檢定中用來衡量證據強度的一個指標。它被定義為：在「虛無假說（Null Hypothesis, $H_0$）為真」的前提下，觀察到目前這個樣本結果，或者比這個樣本結果更極端（更不支持 $H_0$）的結果的機率。

此題為名詞解釋題，考驗考生對假設檢定中「檢定力」的理解。

Power (in the context of the hypothesis test) (假設檢定的檢定力)

檢定力（Power），也稱為統計檢定力（Statistical Power），是指在虛無假說（$H_0$）為假時，正確地拒絕虛無假說 $H_0$ 的機率。換句話說，它是檢定能夠偵測到真實存在的效應（effect）或差異的機率。

此題為名詞解釋題，考驗考生對「隨機抽樣」的理解。

Random Sampling (隨機抽樣)

隨機抽樣是指從一個母體（population）中抽取樣本（sample）的方法，其中母體中的每一個成員都有相等且獨立的機會被選入樣本。這種抽樣方法旨在確保樣本能夠代表母體，從而使我們能夠根據樣本的特性來推論母體的特性。

隨機抽樣的幾個主要類型包括：

1. 簡單隨機抽樣 (Simple Random Sampling, SRS)：母體中的每一個樣本都有相等被抽中的機率。

此題考驗考生對不同抽樣方法的理解及其在實際情境中的應用。研究目標是比較台中市民眾對燃煤電廠的「反對」與「支持」的比率是否存在差異，並需利用三種不同的抽樣方法（系統抽樣、集群抽樣、分層抽樣）來抽取 2,000 個樣本。

核心觀念： 抽樣方法是從母體中選取代表性樣本的技術，不同的方法適用於不同的情況，並有不同的優缺點。

解題思路： 針對每種抽樣方法，說明如何應用於「台中市民眾」這個母體，並抽取 2,000 個樣本以研究「反對」與「支持」燃煤電廠的比率。

1. 系統抽樣 (Systematic Sampling)

• 步驟：

  1. 定義母體： 台中市所有符合條件的市民（例如，年滿 18 歲的居民）。
  2. 編號： 獲取或建立一份包含所有母體成員的完整名冊，並為其編號，例如從 1 到 $N$（$N$ 為台中市總人口數）。
  3. 決定抽樣間隔 (k)： 計算抽樣間隔 $k = \frac{N}{n}$，其中 $n = 2000$ 是所需的樣本數。
  4. 選擇起始點： 從 1 到 $k$ 之間隨機選擇一個起始編號 $s$。
  5. 抽取樣本： 依序抽取編號為 $s, s+k, s+2k, s+3k, \dots$ 的成員，直到抽取到 2,000 名樣本。

• 應用說明： 研究人員需要一份台中市民的完整名冊（如戶籍資料、電話簿等），為每位市民編號。然後計算出抽樣間隔，隨機選定起始點後，每隔固定人數抽取一人，直至樣本數達到 2,000。

2. 集群抽樣 (Cluster Sampling)

• 步驟：
  1. 定義母體： 同上，台中市所有符合條件的市民。
  2. 劃分群集： 將母體劃分成若干個互斥的群集。在城市調查中，常見的群集劃分方式是按行政區（例如，台中市的各個區）、里、鄰、或居住社區。
  3. 隨機選擇群集： 從所有群集中隨機抽取一部分群集。

此題考驗考生進行假設檢定，比較兩個比例的觀念，並根據樣本數據判斷哪個母體比例更為可能。

核心觀念： 假設檢定、比例檢定、信賴區間。

解題思路：
我們可以建立一個假設檢定架構，比較樣本數據與兩種宣稱比例（90% vs 70%）的符合程度。最直接的方法是計算觀察到的樣本比例，並考慮其變異性，或直接進行比例檢定。

步驟一：計算樣本比例
樣本數 $n = 50$
成功次數（被治癒）$x = 40$
樣本比例 $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{40}{50} = 0.80$

步驟二：設定假設檢定
我們有兩個可能的母體比例：$p_1 = 0.90$ (藥廠宣稱) 和 $p_2 = 0.70$ (專家質疑)。
我們要判斷 0.80 這個樣本比例，更接近 0.90 還是 0.70。

方法一：直接比較樣本比例與假設比例
樣本比例 $\hat{p} = 0.80$。
與 $p_1 = 0.90$ 的差距是 $|0.80 - 0.90| = 0.10$。
與 $p_2 = 0.70$ 的差距是 $|0.80 - 0.70| = 0.10$。

從絕對差距來看，0.80 同樣地離 0.90 和 0.70。然而，比例檢定會考慮到樣本數和變異性。

方法二：進行單一比例檢定，比較兩個比例
我們可以針對每一個宣稱的比例，進行一次單一比例的檢定。

檢定 1：檢定母體比例是否為 0.90
$H_0: p = 0.90$
$H_1: p \ne 0.90$ (雙尾檢定，因為我們要判斷是否「較可能為」)

在 $H_0$ 下，樣本比例的平均值為 $\mu_{\hat{p}} = p = 0.90$。
樣本比例的標準差為 $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.90(1-0.90)}{50}} = \sqrt{\frac{0.90 \times 0.10}{50}} = \sqrt{\frac{0.09}{50}} = \sqrt{0.0018} \approx 0.0424$。

檢定統計量 $z = \frac{\hat{p} - p}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.80 - 0.90}{0.0424} = \frac{-0.10}{0.0424} \approx -2.358$。

若使用顯著水準 $\alpha = 0.05$，雙尾檢定的臨界值約為 $\pm 1.96$。
由於 $|-2.358| > 1.96$，我們拒絕 $H_0: p = 0.90$。這表示樣本數據與母體比例為 0.90 的假設有顯著差異。

檢定 2：檢定母體比例是否為 0.70
$H_0: p = 0.70$
$H_1: p \ne 0.70$

此題考驗考生對聯合機率分配基本性質的理解，特別是所有機率值加總必須等於 1。

核心觀念： 聯合機率分配的總和必須為 1。

解題步驟：
根據聯合機率分配的定義，所有可能的 $(X, Y)$ 組合的機率值加總必須等於 1。
將題目表格中的所有機率值加總：
$P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) + P(X=3, Y=1) + P(X=4, Y=1) +$
$P(X=1, Y=2) + P(X=2, Y=2) + P(X=3, Y=2) + P(X=4, Y=2) +$
$P(X=1, Y=3) + P(X=2, Y=3) + P(X=3, Y=3) + P(X=4, Y=3) +$
$P(X=1, Y=4) + P(X=2, Y=4) + P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=4) = 1$

此題考驗考生對條件機率的計算，特別是聯合機率分配中的條件機率。

核心觀念： 條件機率的定義 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$。

解題步驟：
首先，我們需要知道 P 的值。從上一小題 (4-1) 的結果，我們知道 $P = \frac{1}{12}$。

我們需要計算 $f(X=3|Y=2)$，這代表在已知 $Y=2$ 的條件下，求 $X=3$ 的機率。
根據條件機率的定義：
$f(X=3|Y=2) = P(X=3|Y=2) = \frac{P(X=3 \cap Y=2)}{P(Y=2)}$

步驟一：找出 $P(X=3 \cap Y=2)$
從聯合機率分配表中，我們可以找到 $P(X=3, Y=2)$。
在表格中，當 X=3 且 Y=2 時，對應的機率是 $P$。
所以，$P(X=3 \cap Y=2) = P = \frac{1}{12}$。

此題考驗考生計算隨機變數的期望值 (E) 和變異數 (VAR)。

核心觀念： 期望值 $E(Y) = \sum y P(Y=y)$，變異數 $VAR(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2$ 或 $VAR(Y) = E[(Y - E(Y))^2]$。

解題步驟：
首先，我們需要知道 P 的值，從上一小題 (4-1) 得知 $P = \frac{1}{12}$。
同時，我們需要 Y 的邊際機率分配。

步驟一：計算 Y 的邊際機率分配
我們已經計算了 $P(Y=2) = 3P = 3 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$。
現在計算其他 Y 的邊際機率：

• $P(Y=1)$:
  $P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) + P(X=3, Y=1) + P(X=4, Y=1)$
  $= 1/2P + P + 1/2P + P = 3P = 3 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$。

• $P(Y=3)$:
  $P(X=1, Y=3) + P(X=2, Y=3) + P(X=3, Y=3) + P(X=4, Y=3)$
  $= 1/2P + 1/2P + P + P = 3P = 3 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$。

• $P(Y=4)$:
  $P(X=1, Y=4) + P(X=2, Y=4) + P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=4)$
  $= P + P + 1/2P + 1/2P = 3P = 3 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$。

此題考驗考生對連續型均勻分配的理解與應用。

核心觀念： 連續型均勻分配 (Continuous Uniform Distribution)。

解題步驟：
題目指出，捷運發車間距（乘客等待時間）在 4 到 8 分鐘之間是「均等分配」。這表示等待時間 $T$ 服從一個連續型均勻分配，其區間為 $[a, b]$，其中 $a=4$ 分鐘，$b=8$ 分鐘。

對於一個在區間 $[a, b]$ 上的連續型均勻分配，其機率密度函數 (PDF) 為：
$f(t) = \frac{1}{b-a}$，當 $a \le t \le b$
$f(t) = 0$，其他情況

在本題中，$a=4$ 且 $b=8$，所以 $b-a = 8-4 = 4$。
因此，等待時間 $T$ 的機率密度函數為：
$f(t) = \frac{1}{4}$，當 $4 \le t \le 8$
$f(t) = 0$，其他情況

我們要求的是「任一乘客等車的時間小於 4 分鐘的機率」。這表示我們要求 $P(T < 4)$。

此題考驗考生對單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的應用，用於檢定多個組別的平均數是否存在顯著差異。

核心觀念： 單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)。
ANOVA 的目的是檢定一個類別型自變數（在此是肥料品牌 A, B, C）對一個連續型依變數（在此是木瓜產量）的平均值是否有顯著影響。

步驟一：設定假設檢定

• 虛無假說 ($H_0$)：所有肥料品牌的平均產量都相同。
  $H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C$
• 對立假說 ($H_1$)：至少有一個肥料品牌的平均產量與其他不同。
  $H_1$: 不全等於 $\mu_A = \mu_B = \mu_C$

步驟二：整理數據並計算基本統計量
我們有 k=3 個組別（肥料品牌 A, B, C）。
每個組別有 $n_i$ 個觀測值。
總樣本數 $N = n_A + n_B + n_C$。

肥料品牌	產量 (y)	$n_i$	$\sum y_i$	$\sum y_i^2$	$\bar{y}_i$
A	12, 9, 11	3	32	$12^2+9^2+11^2 = 144+81+121 = 346$	$32/3 \approx 10.67$
B	12, 14, 10	3	36	$12^2+14^2+10^2 = 144+196+100 = 440$	$36/3 = 12.00$
C	18, 10, 8	3	36	$18^2+10^2+8^2 = 324+100+64 = 488$	$36/3 = 12.00$
總計		$N=9$	$\sum_{i=1}^N y_i = 104$	$\sum_{i=1}^N y_i^2 = 346 + 440 + 488 = 1274$	$\bar{y}_{\cdot\cdot} = 104/9 \approx 11.56$

步驟三：計算變異數分析 (ANOVA) 表

ANOVA 的核心是分解總變異 (Total Variation) 為組間變異 (Between-group Variation) 和組內變異 (Within-group Variation)。

1. 總平方和 (Total Sum of Squares, SST)
   $SST = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij} - \bar{y}_{\cdot\cdot})^2 = \sum_{i=1}^N y_i^2 - \frac{(\sum y_i)^2}{N}$
   $SST = 1274 - \frac{(104)^2}{9} = 1274 - \frac{10816}{9} = 1274 - 1201.78 = 72.22$

2. 組間平方和 (Between-group Sum of Squares, SSB)
   $SSB = \sum_{i=1}^k n_i (\bar{y}_i - \bar{y}_{\cdot\cdot})^2$
   $SSB = 3 \times (10.67 - 11.56)^2 + 3 \times (12.00 - 11.56)^2 + 3 \times (12.00 - 11.56)^2$
   $SSB = 3 \times (-0.89)^2 + 3 \times (0.44)^2 + 3 \times (0.44)^2$

此題考驗考生對配對樣本 t 檢定 (Paired t-test) 的應用，用於檢定同一組受試者在不同時間點（或不同處理）下的平均數是否存在顯著差異。

核心觀念： 配對樣本 t 檢定 (Paired t-test)。
由於是同一組學童在減肥前後的體重比較，這屬於配對樣本。我們想知道減肥班是否有助於「減重」，表示我們預期減肥後的體重會顯著低於減肥前的體重。

步驟一：定義變數與設定假設檢定
令 $d_i$ 為第 $i$ 位學童的體重差，定義為：$d_i = \text{減肥前體重}_i - \text{減肥後體重}_i$。
如果減肥班有幫助，我們預期 $d_i$ 會是正數，且平均值會大於 0。

• 虛無假說 ($H_0$)：減肥班對學童的體重沒有顯著影響，即減肥前後體重的平均差為 0。
  $H_0: \mu_d = 0$
• 對立假說 ($H_1$)：減肥班對學童有顯著的減重幫助，即減肥前後體重的平均差大於 0（減肥後體重顯著減輕）。
  $H_1: \mu_d > 0$
  （這是一個單尾檢定，因為我們關心的是「減重」的效果，即減肥前體重 > 減肥後體重）

步驟二：計算體重差 (d) 並計算平均差 ($\bar{d}$) 和標準差 ($s_d$)
我們有 $n=6$ 位學童。

學童代號	減肥前體重	減肥後體重	體重差 $d_i = (\text{前} - \text{後})$
1	54	57	$54 - 57 = -3$
2	62	58	$62 - 58 = 4$
3	50	53	$50 - 53 = -3$
4	52	50	$52 - 50 = 2$

此題考驗考生對卡方適合度檢定 (Chi-squared Goodness-of-Fit Test) 的應用，用於檢定觀察到的樣本比例是否與已知的理論比例（母體比例）有顯著差異。

核心觀念： 卡方適合度檢定 (Chi-squared Goodness-of-Fit Test)。

步驟一：設定假設檢定

• 虛無假說 ($H_0$)：民國 110 年後，民眾對經濟發展前景看法的比例沒有改變。即觀察到的比例與已知的比例相同。
  $H_0: p_{\text{好}} = 0.40, p_{\text{不好}} = 0.45, p_{\text{不知道}} = 0.15$
• 對立假說 ($H_1$)：至少有一個比例與已知的比例不同。
  $H_1$: $p_{\text{好}} \ne 0.40$ 或 $p_{\text{不好}} \ne 0.45$ 或 $p_{\text{不知道}} \ne 0.15$

步驟二：整理數據與計算期望次數
總樣本數 $n = 1000$。
觀察次數 (Observed Frequencies, $O_i$)：

• 好：$O_1 = 500$
• 不好：$O_2 = 400$
• 不知道或無意見：$O_3 = 100$

根據虛無假說的比例，計算期望次數 (Expected Frequencies, $E_i$)：

• 好：$E_1 = n \times p_{\text{好}} = 1000 \times 0.40 = 400$
• 不好：$E_2 = n \times p_{\text{不好}} = 1000 \times 0.45 = 450$