112 年 國立臺北大學自然資源與環境管理研究所《統計學》

此題為開放性問題，要求考生針對提供的圖表與資料來源，提出觀察與推論。由於此題無標準答案，旨在評估考生解讀統計圖表、連結資訊來源及進行合理推論的能力。

觀察重點可能包含：

1. 趨勢分析：HIV感染人數和AIDS感染人數的長期趨勢，例如是否呈現上升、下降或穩定。
2. 時間點比較：特定年份的感染人數變化，例如是否有顯著的波動。

本題考驗二項分配 (Binomial Distribution) 的應用。

核心觀念：
當我們進行固定次數的獨立試驗，每次試驗只有兩種結果（成功或失敗），且成功的機率固定時，可以使用二項分配來計算在 $n$ 次試驗中成功 $k$ 次的機率。

解題步驟：

1. 定義事件與機率：

   • 成功事件：學生沒有遲到早退。
   • 失敗事件：學生有遲到早退。
   • 根據題目，學生全年沒有遲到早退的機率 $p = 0.75$。
   • 因此，學生有遲到早退的機率 $q = 1 - p = 1 - 0.75 = 0.25$。

2. 確定試驗次數與目標：

   • 我們隨機抽取 10 個學生，所以試驗次數 $n = 10$。
   • 題目要求計算「至少有遲到早退的機率」。這意味著在 10 個學生中，有 1 個、2 個、3 個、...、最多 10 個學生有遲到早退。

3. 利用補集概念計算：
   計算「至少有 1 個有遲到早退」的機率，最簡便的方法是計算其補集的機率，然後用 1 減去。

   • 補集事件：10 個學生「全部都沒有」遲到早退。
   • 這相當於在 10 次獨立試驗中，每次都發生「沒有遲到早退」的成功事件。
   • 此時，遲到早退的學生人數為 0。

本題題目敘述與選項有明顯的錯誤，題目詢問的是關於 $\lambda=0.1$ 的機率值，但選項卻是數值，且選項 (A)、(B)、(C)、(D) 的敘述完全相同，這在統計學的考題中極不尋常。
根據波松分配的定義，$\lambda$ 是平均發生率，本身不是一個機率值，而是分配的參數。波松分配的機率質量函數 (Probability Mass Function, PMF) 是用來計算在一個時間段或空間區域內，事件發生 $k$ 次的機率，其公式為：
$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$
其中 $X$ 是隨機變數，代表事件發生的次數，$k$ 是非負整數，$e$ 是自然對數的底數 (約 2.71828)。

題目中提到 $\lambda = 0.1$ 次/天，這是一個平均值，不是一個機率。
若題目意圖是問「在一天內，發生 0 次故障的機率」（即 $k=0$），則計算如下：
$P(X=0) = \frac{e^{-0.1} (0.1)^0}{0!} = \frac{e^{-0.1} \times 1}{1} = e^{-0.1}$
$e^{-0.1} \approx 0.9048$

若題目意圖是問「在一天內，發生 1 次故障的機率」（即 $k=1$），則計算如下：
$P(X=1) = \frac{e^{-0.1} (0.1)^1}{1!} = e^{-0.1} \times 0.1 \approx 0.9048 \times 0.1 \approx 0.09048$

若題目意圖是問「在一天內，發生 2 次故障的機率」（即 $k=2$），則計算如下：
$P(X=2) = \frac{e^{-0.1} (0.1)^2}{2!} = \frac{e^{-0.1} \times 0.01}{2} \approx \frac{0.9048 \times 0.01}{2} \approx 0.004524$

本題考驗比例的信賴區間估計 (Confidence Interval for a Proportion)。

核心觀念：
當我們想要估計母體比例 (population proportion) 的範圍時，可以使用樣本比例 (sample proportion) 來建構信賴區間。對於足夠大的樣本，比例的信賴區間近似服從常態分配。

解題步驟：

1. 定義參數與樣本資訊：

   • 樣本總數 (軟糖總數)：$n = 122$
   • 樣本中紅色軟糖的數量：$x = 19$
   • 信賴水準 (Confidence Level)：95%

2. 計算樣本比例 ($\hat{p}$)：
   $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{19}{122} \approx 0.1557$

3. 計算樣本比例的標準誤 (Standard Error of the Proportion, SE($\hat{p}$))：
   $SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
   $1 - \hat{p} \approx 1 - 0.1557 = 0.8443$
   $SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{0.1557 \times 0.8443}{122}}$
   $SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{0.13155}{122}}$
   $SE(\hat{p}) = \sqrt{0.001078} \approx 0.0328$

4. 找出對應的臨界值 (Critical Value)：
   對於 95% 信賴水準，我們通常使用標準常態分配的臨界值 $z_{\alpha/2}$。
   信賴水準為 95%，表示 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。

核心觀念

母體身高服從常態分配，但母體標準差 $\sigma$ 未知，因此以樣本標準差 $s$ 估計母體標準差，使用自由度為 $n-1$ 的 $t$ 分配建立母體平均數的雙尾信賴區間：

$$\bar{X}\pm t_{\alpha/2,\ n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}$$

本題信賴水準為 $90\%$，故 $\alpha=0.10$，每尾面積為 $0.05$。

解題方法

已知 $n=25$、$\bar{X}=69.72$、$s=4.15$。自由度為：

$$df=n-1=24$$

查 $t$ 分配表，得到 $t_{0.05,24}\approx1.711$。樣本平均數的標準誤為：

$$\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{4.15}{\sqrt{25}}=\frac{4.15}{5}=0.83$$

因此誤差範圍為：

$$1.711\times0.83\approx1.42$$

$90\%$ 信賴區間為：

$$69.72\pm1.42$$

換算成區間端點約為 $(68.30,\ 71.14)$ 英吋。

選項分析

核心觀念

考查常態分配的百分位數。通過者占 $35\%$，表示通過標準須設在成績分配的第 $65$ 百分位數：標準以上的右尾面積為 $0.35$，標準以下的累積機率為 $0.65$。

若成績 $X$ 服從平均數 $\mu=435$、標準差 $\sigma=72$ 的常態分配，標準化公式為：

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

解題方法

先查標準常態分配表，找出累積機率約為 $0.65$ 的 $z$ 值。表中常用近似值為 $z=0.39$，其累積機率為：

$$P(Z\leq 0.39)\approx 0.6517$$

因此，標準分數以上的比例為：

$$P(Z>0.39)=1-0.6517=0.3483\approx 35\%$$

將 $z=0.39$ 代回標準化公式，求出原始成績標準：

$$X=\mu+z\sigma=435+(0.39)(72)=463.08$$

所以通過標準約為 $463.08$ 分。

選項分析

核心觀念

離散型隨機變數的期望值，是各種可能結果乘上其發生機率後的加總：

$$E(X)=\sum_x xP(X=x)$$

假設骰子公平，六個點數的機率皆為 $1/6$。依題意，奇數點數代表獲利，偶數點數代表損失，因此隨機變數 $X$ 的可能值為 $1, -2, 3, -4, 5, -6$。

解題方法

將每個骰子點數對應的獲利或損失乘上發生機率，再加總：

$$E(X) =\frac{1}{6}(1)+\frac{1}{6}(-2)+\frac{1}{6}(3) +\frac{1}{6}(-4)+\frac{1}{6}(5)+\frac{1}{6}(-6)$$

核心觀念

本題考驗型 I 錯誤、型 II 錯誤、檢定力與 $P$ 值的定義。

• 型 I 錯誤：虛無假設 $H_0$ 為真，卻錯誤地棄卻 $H_0$。其機率記為 $\alpha$，即顯著水準。
• 型 II 錯誤：虛無假設 $H_0$ 為假，卻未能棄卻 $H_0$。其機率記為 $\beta$。
• 檢定力：在 $H_0$ 為假時，正確棄卻 $H_0$ 的機率。因此：

$$\text{檢定力}=1-\beta$$

• $P$ 值：在 $H_0$ 為真的假設下，得到目前觀察結果或更極端結果的機率。它不是「本次棄卻 $H_0$ 時犯型 I 錯誤的機率」。

解題方法

逐項比對選項與上述定義。判斷時要分清楚三件事：型 I 錯誤率是 $\alpha$、型 II 錯誤率是 $\beta$，而檢定力是 $1-\beta$。另須注意，$P$ 值是由樣本結果計算出的證據指標；實際檢定是否棄卻 $H_0$，則依 $P$ 值是否小於或等於事先設定的顯著水準 $\alpha$ 決定。

選項分析

(A) 錯誤。 檢定力越大，代表型 II 錯誤率 $\beta$ 越小，兩者關係為 $\text{檢定力}=1-\beta$。這不表示型 I 錯誤率 $\alpha$ 必然越小。

核心觀念

本題考查統計資料的五個基本要素：個體、母體、母體大小、變數，以及變數的分配。辨認時要分清楚「研究對象」與「研究對象的特徵」：鞋子是研究對象，鞋子的價格才是變數。

解題方法

原卷表格列出線上商城「國王」所販售運動鞋的價格級距及次數，從 $10–$59.99 到 $360–$409.99，各級距次數依序為 256、124、37、13、6、3、3、1。先依次數合計求出表中涵蓋的觀察個數，再依統計定義辨認其餘項目：

$$256+124+37+13+6+3+3+1=443$$

選項分析

(A) 個體（individual）
個體是資料中每一個被觀察的研究對象。本題的個體是線上商城「國王」所販售的每一雙運動鞋；每一雙鞋各有一筆價格觀察值。

核心觀念

本題比較兩組獨立樣本的母體平均熔點。兩組樣本皆為隨機抽取，且熔點已知服從常態分配，因此以兩獨立樣本平均數檢定比較母體平均數。

令第 $1$、$2$ 種合金焊接材料的母體平均熔點分別為 $\mu_1$、$\mu_2$。題目未說明兩母體變異數相等，因此採用不要求變異數相等的 Welch 兩樣本 $t$ 檢定。

解題方法

題目詢問熔點是否不同，採雙尾檢定：

$$H_0:\mu_1-\mu_2=0$$ $$H_1:\mu_1-\mu_2\ne 0$$

題目沒有指定顯著水準，以下以常用的 $\alpha=0.05$ 判定。Welch 檢定統計量為

$$t=\frac{\bar X_1-\bar X_2} {\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}$$

代入題目數據：

$$t=\frac{218.9-215.5} {\sqrt{\frac{2.7^2}{21}+\frac{3.6^2}{21}}} =\frac{3.4}{\sqrt{\frac{7.29+12.96}{21}}} \approx 3.462$$

Welch–Satterthwaite 公式給出的自由度約為

核心觀念

這是同一批受試者在實驗前、後各測一次體重，資料彼此配對，應分析每人的「前後差」並使用配對樣本 $t$ 檢定。母體標準差未知且樣本數只有 $4$，以差值的樣本標準差估計標準誤，檢定統計量服從自由度 $n-1$ 的 $t$ 分配。

解題方法

依原卷表格，4 位受試者的試驗前體重為 $180,125,240,150$ 磅，試驗後為 $170,130,215,152$ 磅；表中定義的體重差異是「試驗前減試驗後」，依序為 $10,-5,25,-2$ 磅，平均差為 $7$ 磅、標準差為 $13.64$ 磅。差值為正代表減重，因此以平均減重量是否大於 $0$ 作為檢定方向。

令 $d_i=$ 試驗前體重 $-$ 試驗後體重，$\mu_d$ 為母體平均減重量。假設為：

$$H_0:\mu_d=0 \qquad H_1:\mu_d>0$$

在虛無假設成立時，檢定統計量為：

$$t=\frac{\bar d-0}{s_d/\sqrt{n}} =\frac{7}{13.64/\sqrt{4}} =\frac{7}{6.82} \approx 1.03$$

核心觀念

本題考「列聯表的卡方獨立性檢定」。虛無假設 $H_0$ 是設施型態與病床數目相互獨立；對立假設 $H_1$ 是兩者統計相依。若 $H_0$ 成立，各格的期望次數為：

$$E_{ij}=\frac{\text{第 }i\text{ 列總計}\times\text{第 }j\text{ 欄總計}}{\text{總樣本數}}$$

卡方檢定統計量與自由度為：

$$\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}, \qquad df=(r-1)(c-1)$$

解題方法

圖中列聯表有兩種設施型態、三種病床數目級距，總樣本數為 $6{,}580$。一般設施列總計為 $5{,}403$，復健、慢性病、腫瘤及其他設施列總計為 $1{,}177$；三欄總計依序為 $310$、$2{,}010$、$4{,}260$。

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，先依列總計、欄總計及總樣本數計算期望次數：

設施型態	小於或等於 24	25–74	等於或大於 75
一般	$254.55$	$1{,}650.46$	$3{,}497.99$

核心觀念

本題考單因子變異數分析。以五個行業的週薪為資料，檢定五個母體平均週薪是否全都相同。

解題方法

依原卷圖，五個行業依序為交通、公用電力業、批發業、零售業、金融保險業、服務業；各組樣本數為 $4、4、4、3、3$，共 $18$ 筆資料。以下依表格中的逐筆數據計算，各組總和為 $2614、2316、1272、1703、1522$。

(A) 反應變數是週薪；因子是行業別；因子的五個水準是上述五種行業。

(B) 設五個行業的母體平均週薪分別為 $\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4,\mu_5$，檢定假設為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4=\mu_5$$ $$H_1:\text{至少有一個行業的母體平均週薪不同}$$

採單因子變異數分析，使用下列平方和公式：

$$SS_{\text{總}}=\sum x^2-\frac{G^2}{N}, \qquad SS_{\text{組間}}=\sum_{j=1}^{5}\frac{T_j^2}{n_j}-\frac{G^2}{N}, \qquad SS_{\text{組內}}=SS_{\text{總}}-SS_{\text{組間}}$$

其中 $G=\sum T_j=9427$、$N=18$，而題目給定 $\sum x^2=5{,}212{,}893$。代入得：

$$\frac{G^2}{N}=\frac{9427^2}{18}=4{,}937{,}129.389$$ $$SS_{\text{總}}=5{,}212{,}893-4{,}937{,}129.389=275{,}763.611$$

各組樣本數不同，計算組間平方和時須使用各組自己的 $n_j$：